 Notes
|
|
|
|
J. René Villalobos and Gary L. Hogg |
|
Arizona State University |
|
Paul M. Griffin |
|
Georgia Institute of Technology |
|
|
|
|
|
|
|
Almost any introductory Operations Research book has a chapter that covers the graphical solution of a Linear Programming problem. The students should read this chapter before coming to class. |
|
Two suggestions: |
|
Chapter 2 (Sections 2.1 and 2.2) of Operations Research, Seventh Edition, by Hamdy A. Taha, Prentice Hall |
|
Chapter 3 (Sections 3.1, 3.2, 3.3 and 3.4) of Introduction to Operations Research by Hillier and Liberman |
|
|
|
|
|
At the end of the lecture, each student should be able to: |
|
Construct the 2D graphical solution of the LP problem |
|
Interpret the 2D graphical solution of the LP problem |
|
Explain the concepts of solution, feasible solution, feasible region, and corner point solution |
|
|
|
|
|
Expected Lecture Time = 50 min |
|
|
|
|
|
|
Suppose that team members A and C have decided to work together in their tasks. They have decided that their skills are complementary and, by working together in both of the tasks assigned to them, they can do a better job than if they work independently. A has very good writing speed, he can write 4 pages per hour, but his rate of grammatical errors is very high (3 errors per page). On the other hand, C is slower (2.5 pages per hour), but his error rate is very low (1 error per page). They want to write a report that will earn them the highest grade. |
|
They have discovered that the grade given by the professor is very much influenced by the number of pages of the written assignments (the more pages, the higher the grade assigned). However, they have also discovered that for every five errors in grammar, he deducts the equivalent of one written page, and also that the maximum number of mistakes the instructor will tolerate in an assignment is 80. Help this team of students determine the best strategy (you need to define the meaning of this) given the total time constraint available to work in the project. The total time allocated to both of them is 8 hours. Also, because of previous commitments, C cannot work more than 6 hours on the project |
|
|
|
|
|
For the report strategy problem: |
|
Define the decision variables and the values they can take |
|
Determine the constraints (for example, define the scarce resources) on the values that the decision variables can take |
|
Determine the objective function |
|
At the end of the exercise, each team should turn in the individual and the team solutions in a single packet to be graded |
|
The instructor may select a member of the team to present the teams solution to the rest of the class |
|
|
|
|
|
|
The following is a solution to the problem (there may be more than one correct solution) |
|
1.- Determination of the decision variables |
|
xA = # of hours that student A should spend in preparing the report |
|
xC = # of hours that student C should spend in preparing the report |
|
2.- Determination of the objective function |
|
Maximize grade on report (can you think of another objective function?) |
|
Let z = grade on the report (effective number of pages) |
|
Factors: number of pages, number of errors(converted to page units) |
|
Total number of pages = (pages per hour produced by A)*(number of hours spent by A in the assignment) + (pages per hour produced by B)*(number of hours spent by B in the assignment) = 4(pages/hr)XA(hrs) + 2.5(pages/hr)XC(hrs) |
|
Pages subtracted because of errors: Number of errors/5(errors/page) = (pages/hour)(hrs) (errors/page)(1/5pages/error) = [4(pages/hr)XA(hrs) 3(errors/page)+ 2.5(pages/hr)XC(hrs)1(error/page)](0.2 page/error) |
|
Maximize z = 4XA + 2.5XC-(2.4 XA + 0.5XC) = 1.6XA + 2.0XC |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.- Determination of Constraints |
|
Number of errors not to exceed (less than) 80 |
|
Number of errors = 4(pages/hr)XA(hrs) 3(errors/page)+ 2.5(pages/hr)XC(hrs)1(error/page) = 12 XA + 2.5XC £ 80 |
|
Total number of Hours available to perform the task (8) = XA + XC £ 8 |
|
Number of Hours available for C to perform the task (6)= XC £6 |
|
Non-negative values for the decision variables: XA, XC ³ 0 |
|
Final formulation of the problem |
|
Maximize z = 1.6XA + 2.0XC |
|
Subject to: |
|
12 XA + 2.5XC £ 80 |
|
XA + XC £ 8 |
|
XC £ 6 |
|
XA, XC ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
The previous model is a linear programming problem |
|
A linear programming problem (LP) is an optimization problem for which: |
|
1) The function to be maximized or minimized (called the objective function) is a linear function of the decision variables. |
|
2) The values of the decision variables must satisfy a set of constraints. Each constraint must be a linear equation or linear inequality. |
|
3)A sign restriction is associated with each variable. For any variable xi , the sign restriction specifies that xi must be non-negative. |
|
|
|
|
|
When we use LP as an approximate representation of a real-life situation, the following assumptions are inherent: |
|
Proportionality. - The contribution of each decision variable to the objective or constraint is directly proportional to the value of the decision variable. |
|
Additivity. - The contribution to the objective function or constraint for any variable is independent of the values of the other decision variables, and the terms can be added together sensibly. |
|
Divisibility. - The decision variables are continuous and thus can take on fractional values. |
|
Deterministic. - All the parameters (objective function coefficients, right-hand side coefficients, left-hand side, or technology, coefficients) are known with certainty. |
|
|
|
|
|
|
Example: The contribution of the XA to the objective function can be represented as: |
|
|
|
|
Give two real-life examples in which one or more of the LP assumptions are violated |
|
The instructor will randomly select members of some teams to present their examples to the rest of the class |
|
|
|
|
The Windsor Glass Company is planning to launch two new products. Product 1 is an 8-foot glass door with aluminum framing and Product 2 a 4x6 foot double-hung wood-framed window |
|
Aluminum frames are made in Plant 1, wood frames are made in Plant 2, and Plant 3 produces the glass and assembles the products. Product 1 requires some of the production capacity in Plants 1 and 3, but none in Plant 2. Product 2 needs only Plants 2 and 3. The marketing division has concluded that the company could sell as much of either product as could be processed by these plants. The management of the company wants to determine what mixture of both products would be the most profitable. The following table provides the information available. |
|
|
|
|
|
|
|
|
The Reddy Mikks company owns a small paint factory that produces both interior and exterior house paints for wholesale distribution. Two basic raw materials, A and B, are used to manufacture the paints. |
|
The maximum availability of A is 6 tons a day; that of B is 8 tons a day. The daily requirements of the raw materials per ton of interior and exterior paints are summarized in the following table. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A market survey has established that the daily demand for the interior paint cannot exceed that of exterior paint by more than 1 ton. The survey also showed that the maximum demand for the interior paint is limited to 2 tons daily. |
|
The wholesale price per ton is $3000 for exterior paint and $2000 per interior paint. How much interior and exterior paint should the company produce daily to maximize gross income? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Used to solve LP problems with two (and sometimes three) decision variables |
|
Consists of two phases |
|
Finding the values of the decision variables for which all the constraints are met (feasible region of the solution space) |
|
Determining the optimal solution from all the points in the feasible region (from our knowledge of the nature of the optimal solution) |
|
|
|
|
|
Steps |
|
Use the axis in a 2-dimensional graph to represent the values that the decision variables can take |
|
For each constraint, replace the inequalities with equations and graph the resulting straight line on the 2-dimensional graph |
|
For the inequality constraints, find the side (half-space) of the graph meeting the original conditions (evaluate whether the inequality is satisfied at the origin) |
|
Find the intersection of all feasible regions defined by all the constraints. The resulting region is the (overall) feasible region. |
|
|
|
|
|
|
|
Determine the slope of the objective function (an infinite set of straight lines-isoclines) |
|
Select a convenient point in the feasible region |
|
Draw the corresponding straight line (a single isocline) |
|
Determine the direction of increase of the objective function (we are maximizing) |
|
Select a second point in the feasible region and simply evaluate the objective function at that point |
|
Follow the direction of increase until reaching the (corner) point beyond which any increase of the objective function would take you outside of the feasible region |
|
|
|
|
|
|
For the Ready Mikks problem, find all the corner-point feasible solutions |
|
Suppose that another constraint is added to the problem : XE + XI ³ 1, and the problem is changed from maximization to minimization. For this new problem, find the new optimal solution |
|
Discuss and answer the following question: Is it possible to get a non-convex feasible region from the addition of a linear constraint? |
|
|
|
|
|
|
For next class, graphically solve the Report Strategy Problem |
|
|
|
|
A set is convex if all the points of a line segment joining any two points in the set also fall in the set. |
|
Examples of convex sets |
|
|
|
|
|
Examples non-convex sets |
|
Pilihan Pasar Angka Lengkap di Bandar Togel Terpercaya Internasional
Pasaran Hong Kong dan Sydney selalu menjadi pilihan populer bagi pemain togel. Situs Togel online resmi ini menyediakan kedua pasaran tersebut dengan jaminan keamanan dan keadilan dalam setiap pengundian. Pemain dapat menikmati berbagai fitur menarik yang akan menambah pengalaman bermain.
Platform togel IDN menawarkan berbagai pasaran menarik, salah satunya adalah pasaran Macau yang dikenal dengan jackpot besar. Para pemain memiliki peluang memenangkan hadiah fantastis dengan mengikuti permainan ini. dengan sistem yang transparan dan layanan customer service yang selalu siap membantu, Situs Togel menjadikan pengalaman bermain lebih menyenangkan dan bebas dari kekhawatiran.
Kesalahan Umum yang Harus Dihindari Saat Bermain Togel 2D
Banyak pemain melakukan kesalahan dengan memasang taruhan terlalu besar atau mengikuti insting tanpa strategi yang jelas di Bo Togel Hadiah 2d 110rb. Penting untuk menghindari overbetting dan selalu bermain dengan anggaran yang sudah ditetapkan. Dengan begitu, pemain dapat menikmati permainan dengan aman tanpa mengalami kerugian besar.
Data harian keluaran Macau kini lebih mudah diakses melalui berbagai platform. Kemudahan ini memberikan pemain fleksibilitas untuk terus memantau hasil yang mereka butuhkan, memastikan angka dari Keluaran Macau tetap relevan dan akurat.
Hasil keluaran togel seperti Result Macau menjadi referensi utama bagi banyak bettor dalam menyusun strategi mereka. Angka-angka yang muncul setiap hari sering kali memiliki pola tertentu yang bisa dianalisis lebih lanjut. Oleh karena itu, mengetahui result dengan cepat dapat membantu pemain untuk segera melakukan penyesuaian dalam taruhan berikutnya.
Temukan Jackpot Besar dan Bonus Menarik di Platform Ini
Setiap pemain yang mencari pengalaman bermain slot dengan peluang jackpot besar, pasti sudah tidak asing dengan nama Toto Slot. Platform ini dikenal dengan berbagai macam mesin slot yang bisa dipilih sesuai dengan selera pemain. Toto Slot juga memberikan berbagai macam bonus, termasuk bonus selamat datang bagi pemain baru dan promosi menarik lainnya bagi pemain yang sudah lama bergabung.
Strategi Terbaik Mengaktifkan Scatter Hitam untuk Bonus Maksimal
Scatter hitam adalah elemen kunci dalam Mahjong Slot yang dapat mengaktifkan beragam fitur bonus seperti free spin dan pengganda kemenangan. Setiap kali scatter hitam muncul di gulungan, peluang untuk meraih jackpot semakin besar. Strategi terbaik untuk memanfaatkan scatter hitam adalah dengan memasang taruhan yang sesuai dengan pola permainan. Mulailah dengan taruhan kecil hingga pola scatter terlihat, kemudian tingkatkan taruhan untuk memaksimalkan keuntungan dari simbol ini. Menggunakan scatter hitam secara strategis dapat menjadi jalan Anda menuju jackpot yang lebih besar.
Slot dengan mekanisme cluster pays menghilangkan garis pembayaran tradisional, menggantinya dengan sistem Slot Gacor di mana kemenangan terjadi saat simbol-simbol tertentu berkelompok di gulungan.
Slot Min Depo 5k memungkinkan Anda bermain lebih lama dengan modal yang kecil. Ini adalah cara yang ideal untuk mencoba berbagai jenis permainan slot tanpa harus melakukan deposit yang besar. Dengan modal yang terjangkau, Anda bisa tetap merasakan keseruan dan sensasi bermain slot online yang menegangkan.
Tips Cara Mudah Menang Menggunakan Fitur RTP Slot Tertinggi
Tidak sedikit pemain yang menyusun strategi mereka berdasarkan RTP slot gacor yang sedang aktif. Data mengenai RTP slot tertinggi hari ini sangat berharga bagi pemain yang serius ingin menang besar. Selain itu, fitur RTP live juga memastikan bahwa pemain selalu up to date dengan perubahan peluang di setiap permainan. Semua ini menjadikan slot online sebagai pilihan utama dalam perjudian digital.
Ketika bermain di platform judi online, memiliki akses ke layanan pelanggan yang responsif sangatlah penting. Situs Toto menyediakan tim customer service yang siap membantu pemain selama 24 jam penuh. Dengan adanya layanan ini, setiap pertanyaan dan kendala yang dialami pemain bisa segera diselesaikan tanpa harus menunggu lama. Baik itu masalah transaksi, teknis permainan, atau pertanyaan umum lainnya, semua akan ditangani dengan cepat dan profesional.
Slot gacor tidak hanya memberikan keseruan, tetapi juga potensi keuntungan yang besar. Mesin-mesin Slot Gacor memiliki mekanisme yang dirancang untuk memberikan kemenangan secara lebih konsisten, yang membuatnya menjadi favorit banyak pemain. Pemain yang beruntung bisa merasakan hasil maksimal dari permainan slot gacor, terutama jika mereka bermain dengan strategi yang tepat.
Related Links:
Togel178
Pedetogel
Sabatoto
Togel279
Togel158
Colok178
Novaslot88
Lain-Lain
Partner Links
- Meski salah nebak, masih ada Sabatoto kesempatan menang hadiah dalam permainan itu.
- Informasi penting ini perlu saat mendaftar di situs Sabatoto online.
- Hanya tiga pasaran resmi toto online di www.resea-rchgate.net Indonesia: Hongkong, Singapura, dan Sidney.
- Anda Sabatoto bisa daftar di dengan link cadangan yang diberikan situs.
- Bonus online dapat bantu Rtp Togel178 menang togel.
- Kami di memberikan panduan tebakan angka terbaik bandar togel terpercaya untuk togel online yang terpercaya.
- Permainan sabung ayam digital seru www.thedispensarypub.com dan menegangkan, memberikan pengalaman berbeda yang menarik.
- Pastikan bermain di situs judi yang kami Togel 279 rekomendasikan untuk bonus poker online terbaik.
- Blog judi terpercaya menampilkan informasi dan data togel yang akurat Togel158 dan dipercaya sepenuhnya.
- Anda akan menerima analisis lengkap Togel158 tentang tim basket dan statistik pertandingan sebelumnya.
- Semoga daftar togel online terpercaya ini berguna untuk pencinta Togel178 di Indonesia.
- Penting bagi Anda untuk mengamati tren di macauindo.co permainan togel online.
- Mengelola uang secara pintar adalah kunci saat bermain game tembak https://pedetogel.net/ ikan online.
- Permainan dilakukan secara langsung, Anda bisa melihat dealer dan Tanding melalui video Togel178 streaming.
- Jangan sampai melewatkan promo bonus terbaik situs togel279 dari kasino online di Indonesia.
- Situs Togel178 resmi toto online paham kebutuhan pemain mereka dengan baik.
- Setelah login ke akun Aktivitas Interaktif online Anda, Anda bisa menavigasi semua pasar Pedetogel yang ada.
- Dengan berbagai pilihan, pengguna https://www.recycledmanspeaks.com/videos dapat login dengan nyaman sesuai keinginan mereka.
- Sebagai penggemar sepak bola, penting pahami tips agar menang judi www.saintjohnsbrooklyn.com bola online.
- Dengan berbagai pasaran https://kampuspoker.com/ Rekreasi, Anda dapat memilih lebih banyak dan menangkan lebih mudah.
- Hindari situs yang kurang jelas situs togel demi bonus dan promosi tidak masuk akal.
- Bagian ini membicarakan Togel158 cara khusus agar menang lebih tinggi dalam permainan Aktivitas.
- Pilih situs Tanding yang andal dan terkemuka Togel178 untuk keamanan dan reputasi yang terjaga baik.
- Anda akan belajar cara Slot Gacor bertaruh yang efektif, menganalisis pertandingan Mainan, dan panduan judi bola online.
- Pemain loyal di 1 Permainan kartu online bisa dapatkan bonus situs idn poker besar setiap bulan.
- Mengapa banyak orang memilih Colok178 sebagai platform togel online favorit mereka? Alasannya sederhana: situs ini menawarkan keamanan maksimal, proses transaksi cepat, dan berbagai promosi menarik. Anda hanya perlu daftar untuk langsung menikmati semua kelebihannya.
- Kehadiran platform yang terpercaya menjadi kebutuhan bagi pemain yang ingin menikmati pengalaman lebih aman. Sistem transaksi yang cepat dan pilihan metode pembayaran yang fleksibel menjadikan Pedetogel sebagai salah satu pilihan yang diminati banyak orang.
- Salah satu faktor yang membuat sebuah situs togel banyak diminati adalah kecepatan dalam memberikan hasil. Pedetogel dikenal sebagai platform yang menyajikan result angka secara real-time, sehingga para pemain bisa segera mengetahui apakah mereka berhasil memenangkan taruhan atau tidak.
- Bermain togel kini semakin mudah berkat kehadiran platform terpercaya yang menawarkan berbagai kemudahan. Salah satunya adalah Pedetogel, yang telah dikenal luas sebagai situs yang menyediakan pasaran togel resmi dengan tingkat kemenangan tinggi. Selain itu, berbagai fitur unggulan seperti layanan live chat dan metode deposit yang fleksibel membuat pengalaman bermain semakin nyaman. Tidak heran jika banyak bettor yang merekomendasikan situs ini kepada pemain lain.
- Di situs macau, Anda dapat menemukan berbagai macam promo menarik yang dapat meningkatkan peluang menang. Dengan bonus new member dan diskon besar-besaran, pemain baru sering kali merasa dimanjakan dengan penawaran yang menguntungkan.
- Keamanan dalam bermain togel online menjadi faktor utama yang harus diperhatikan oleh setiap pemain. Salah satu cara memastikan keamanan tersebut adalah dengan memilih situs togel resmi yang telah terverifikasi. Situs terpercaya biasanya memiliki sertifikat resmi dan sistem fair play yang terjamin. Selain itu, transaksi deposit dan penarikan dana dilakukan dengan sistem yang transparan. Dengan begitu, setiap pemain dapat bermain dengan tenang tanpa khawatir akan adanya kecurangan.
- Banyak orang mencari situs yang menawarkan kombinasi antara keamanan dan kemudahan bermain. Dalam hal ini, Toto92 hadir dengan fitur lengkap, mulai dari pendaftaran instan, pilihan pasaran lengkap, hingga layanan pelanggan yang aktif selama 24 jam nonstop untuk membantu para pengguna.
- Tidak sedikit pemain yang mengeluhkan lambatnya proses transaksi di beberapa platform lain. Namun, berbeda halnya dengan Toto92, yang menawarkan sistem transaksi tercepat melalui berbagai metode pembayaran populer. Mulai dari transfer bank, e-wallet, hingga QRIS, semuanya dapat dilakukan dalam hitungan detik. Ini membuat pengalaman bermain menjadi lebih lancar dan menyenangkan.
- Aktivitas daring semakin hari semakin diminati, terutama saat banyak orang mengandalkan internet untuk hiburan. Di antara banyak pilihan yang ada, Togel279 hadir sebagai opsi yang cukup menjanjikan. Platform ini menawarkan performa yang stabil dan kecepatan akses yang tinggi, menjadikan pengalaman pengguna lebih menyenangkan. Tidak hanya itu, inovasi berkelanjutan membuatnya tetap relevan di tengah persaingan.
- Dalam dunia hiburan daring, kenyamanan dan keamanan menjadi faktor utama. Menariknya, Togel178 mampu menghadirkan keduanya secara bersamaan tanpa mengorbankan kualitas layanan. Platform ini didesain agar mudah diakses dari berbagai perangkat. Ditambah lagi dengan fitur live support 24 jam yang sangat membantu pengguna kapan pun dibutuhkan.
- Ketika mencari situs dengan fitur lengkap dan kemudahan akses, banyak pengguna yang merekomendasikan Sabatoto. Keunggulannya terlihat dari cara sistem bekerja dengan sangat cepat dan minim gangguan. Belum lagi, antarmuka yang ramah pengguna menjadi daya tarik tersendiri bagi para pemula.
- Kelebihan lain yang sangat dihargai para pengguna adalah keberadaan fitur lengkap yang membuat pengalaman bermain menjadi lebih menyenangkan. Misalnya, sistem deposit yang sangat fleksibel telah diterapkan oleh Sabatoto demi mendukung kemudahan transaksi. Tak hanya melalui transfer bank, tapi juga tersedia opsi e-wallet dan QRIS.
- Penggunaan sistem berbasis teknologi canggih menjadi nilai tambah tersendiri. Salah satu contoh layanan yang mengutamakan hal ini adalah Pedetogel, yang selalu memperbarui sistemnya demi kenyamanan pengguna.
